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极值点偏移问题之对称化构造对称函数压轴变送

2019-07-04 16:11

  150分,极值点偏移问题这个所谓的压轴题一定要变成你唾手可得的送分题,本篇只是高考数学极值点偏移问题的开篇,希望更多的同学都能在高考数学中游刃有余地吃下“极值点偏移”这块糕点。

  本文就不杂糅其它方法了,专门讲述“对称化”:构造对称函数的方法。希望大家看过此文的讲述后,对于“对称化”的方法怎么来的,怎么回事,为什么要这么构造,都一清二楚、了然于胸,应用起来也得心应手、轻松愉快。

  对于部分“超越函数”(无法用有限次加减乘除、乘方开方运算表示变量之间关系的函数,这个概念无需管)的数学问题,无法直截了当、一步到位地解决,根据数形结合思想,这部分超越函数的图像是不规则的(自然不具有“对称性”)。

  在解决数学问题的时候,“形”的处理原则即是“化不规则为规则”,规则了问题解决起来自然就不费吹灰之力了。而最简单的规则即是“对称”,以“形”引导“数”,自然而然就引出了“对称化”即构造对称函数的方法。

  第一小问求导判断函数单调性和单调区间无需多说,极值自然也就出来了,直截了当,没有任何弯弯绕绕。复合函数求导公式那一页请记牢。

  第二小问题目实际上就已经在给出“对称化”的提示了,这样已经大大降低了难度。题目已经直接提出了对称函数,我们只需要将其代数形式写出来,然后也是关键的一步,构造辅助函数。辅助函数的目的在于,化多元(本题二元)为一元从而减少变量,使问题变得简单起来。

  第三小问证明的结论正是“极值点偏移”,先用反证法简单证明极值点在x₁,x₂之间,再用前面两小问的结论即得证。

  2010年做本题的天津考生虽然是第一批吃“极值点偏移”的螃蟹的人,但是考试实际上却是把“对称化”的方法明摆出来,手把手地教给你用了,几乎把难度全部去除了。前面两小问一直在为第三小问证明“极值点偏移”的结论做铺垫:①求导判断原函数单调区间和极值点,②构造对称函数和辅助函数(原函数与对称函数作差)化二元为一元,辅助函数再求导判断单调性和极值(判断原函数与对称函数大小关系)。第三小问实质上就只剩下证明极值点在x₁,x₂之间这件事了。

  当然这是最简单的不含参的“和”的形式的极值点偏移,不过也基本把方法传递完整了,2010年天津高考数学实际上就基本上是单纯为后面高考“极值点偏移”问题传递方法的。后面接着的高考中自然再加了一点点料,和穿了新衣:含参,“积商”的形式。但是问题的主题是没有改变的,方法也就自然还有用武之地。当然除了“对称化”的方法,也要用到其它的一点点方法,后面再做讲述。

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