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掌握这7种函数构造方法巧解高考导数难题!

2019-07-04 16:11

  近几年高考数学压轴题,多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围,这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点,而构造函数是解导数问题的最基本方法,但在平时的教学和考试中,发现很多学生不会合理构造函数,结果往往求解非常复杂甚至是无果而终.因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数,本文以近几年的高考题和模考题为例,对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结,供大家参考.

  评注:本题采用直接作差法构造函数,通过特殊值缩小参数范围后,再对参数进行分类讨论来求解.

  分离参数是指对已知恒成立的不等式在能够判断出参数系数正负的情况下,根据不等式的性质将参数分离出来,得到一个一端是参数,另一端是变量的不等式,只要研究变量不等式的最值就可以解决问题.

  换元构造法在处理多变元函数问题中应用较多,就是用新元去代替该函数中的部分(或全部)变元.通过换元可以使变量化多元为少元,即达到减元的目的.换元构造法是求解多变元导数压轴题的常用方法.

  评注:本题的两种解法通过将待解决的式子进行恰当的变形,将二元字母变出统一的一种结构,然后用辅助元将其代替,从而将两个变元问题转化一个变元问题,再以辅助元为自变量构造函数,利用导数来来求解。其中解法1、解法2还分别体现了化积局部构造法和变形作差构造法.

  主元构造法,就是将多变元函数中的某一个变元看作主元(即自变量),将其它变元看作常数,来构造函数,然后用函数、方程、不等式的相关知识来解决问题的方法.

  评注:本题第二问是一道典型且难度比较大的求参问题,这类题目很容易让考生想到用分离参数的方法,但分离参数后利用高中所学知识无法解决,笔者研究发现不能解决的原因是分离参数后,出现了“0/0型”的式子,解决这类问题的有效方法就是高等数学中的洛必达法则;

  若直接构造函数,里面涉及到指数函数、三角函数及高次函数,处理起来难度很大.本题解法中两次巧妙利用第一问的结论,通过分类讨论和假设反正,使问题得到解决,本题也让我们再次体会了化积局部构造法的独特魅力.

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